#12 A formação do infinito real pelo acréscimo sucessivo

Dr. Craig responde

Bem, Michael, é óbvio que eu partilho da sua intuição! Basicamente, você está questionando a garantia para a premissa (1). Você acha que, quando reflete sobre a ideia de formar uma coleção de coisas realmente infinita pelo acréscimo sucessivo, a tarefa parece impossível. Você quer saber se podemos desembrulhar essa intuição um pouco mais para ver por que tal tarefa é impossível.

No caso de começarmos com alguma quantidade finita e lhe acrescentarmos quantidades finitas, podemos identificar o problema com clareza: já que uma quantidade finita mais outra quantidade finita é sempre uma quantidade finita, jamais chegaremos ao infinito, mesmo que continuemos adicionando para sempre. O infinito, nesse caso, serve apenas como um limite que nunca atingimos.

O que se torna realmente enigmático, e até difícil de compreender, é a sugestão de que podemos, só pela adição de quantidades finitas, formar uma quantidade ou coleção infinitas — digamos, uma coleção qualquer de figurinhas de beisebol — nunca começando, mas terminando em algum ponto do tempo! Aqui, a impossibilidade não pode ser analisada devido à impossibilidade de adicionar quantidades finitas a quantidades finitas, obtendo-se uma quantidade infinita, porque, nesse caso, a quantidade à qual são adicionadas quantidades finitas é sempre e desde já infinita. Estamos adicionando sucessivamente quantidades finitas a uma quantidade já infinita, assim, evidentemente, a soma é uma quantidade infinita. Aqui, o infinito não está funcionando como um mero limite, mas como uma coleção de elementos concretos.

Agora, observe que ainda não foi explicado como conseguimos formar nossa coleção infinita de figurinhas de beisebol com acréscimos sucessivos. Afinal, a qualquer tempo no passado, a coleção já é infinita e a coleção total ainda não foi formada — o que só ocorrerá quando a última figurinha for acrescentada. De qualquer ponto do passado, basta-se acrescentar apenas um número finito de figurinhas para completar a coleção. Mas ainda fica sem solução o problema sobre como uma coleção infinita inteira pode ter sido formada pelo acréscimo sucessivo.

Aqui está o problema, segundo me parece: para que a coleção seja completada, devemos ter enumerado, uma de cada vez, uma quantidade infinita de figurinhas prévias. Mas, antes que a figurinha final possa ser acrescentada, a imediatamente anterior a ela deveria ter sido acrescentada; e antes que essa figurinha pudesse ser acrescentada, a imediatamente anterior deveria ter sido acrescentada; e assim por diante ad infinitum. Assim, ruma-se cada vez mais para trás na direção do passado infinito, tornando impossível o acréscimo de qualquer figurinha à coleção.

Essa forma de explicar o argumento é bem semelhante à de Zenão, o qual afirmava que Aquiles, antes que pudesse cruzar o estádio, deveria cruzar a metade do caminho; antes que pudesse cruzar a metade do caminho, deveria cruzar um quarto do caminho; antes que pudesse cruzar um quarto do caminho, deveria cruzar um oitavo do caminho, e assim infinitamente. Portanto, Aquiles nunca chegaria a lugar nenhum. O paradoxo de Zenão é resolvido, observando-se que os intervalos cruzados por Aquiles são potenciais e desiguais. Zenão supõe livremente que qualquer intervalo finito é composto de um número infinito de pontos, ao passo que os seus oponentes, como Aristóteles, consideravam que o intervalo todo era conceitualmente anterior a quaisquer divisões que possamos impor a ele. Além disso, os intervalos de Zenão, por serem desiguais, resultam numa distância meramente finita. Já no caso de um passado infinito os intervalos são reais e iguais e resultam numa distância infinita.

Penso que o melhor comentário que o crítico do argumento pode fazer nesse ponto é dizer que, se figurinhas forem acrescentadas a uma taxa de, digamos, uma por segundo, então a coleção pode ser completada porque existe uma quantidade infinita de segundos no passado sem princípio. Mas essa resposta, evidentemente, apenas empurra o problema para um nível mais baixo. Afinal, a questão é: como pode ser formada a coleção de segundos do passado pelo acréscimo sucessivo? Porque, antes que o segundo atual pudesse passar, o segundo antes teria de passar, e assim por diante, como antes. Visto que se aplica ao próprio tempo, o problema não pode ser resolvido, apelando-se ao tempo passado infinito.

É claro que os proponentes da teoria estática do tempo negarão que momentos de tempo realmente transcorrem, nesse caso, a objeção deles é de fato à premissa (2), não à premissa (1).

Se esse argumento ainda não convenceu, gostaria, então, de apresentar outra defesa mais detalhada da premissa (1) afirmando que, caso fosse possível formar um infinito real pelo acréscimo sucessivo, haveria vários absurdos como resultado. Considere-se o cenário imaginado por al-Ghazali para o nosso sistema solar, existente desde a eternidade passada, com os períodos orbitais dos planetas tão coordenados que, para cada órbita que Saturno complete, Júpiter completa 2,5 vezes mais. Se eles estão orbitando desde a eternidade, que planeta completou mais órbitas? A resposta matematicamente correta é que eles completaram exatamente o mesmo número de órbitas. Mas isso parece absurdo. Pense nisto: quanto mais Júpiter e Saturno revolucionam, maior torna-se a disparidade entre eles, de modo que se aproximam progressivamente de um limite no qual Júpiter ficou infinitamente atrás de Saturno. Mas, sendo agora realmente órbitas infinitas, os números respectivos das órbitas completas são de alguma maneira magicamente idênticos. Na verdade, eles “atingiram” o infinito desde a eternidade passada: o número de órbitas completas é sempre o mesmo. Assim, Júpiter e Saturno completaram individualmente um número infinito de órbitas, e esse número tem permanecido igual e imutável desde toda a eternidade, a despeito de suas contínuas revoluções e da disparidade crescente entre elas ao longo de qualquer intervalo de tempo finito. Isso, para mim, é maluquice.

A loucura ainda fica pior. Vamos supor que encontremos uma pessoa que alega que vem contando retroativamente desde o infinito e que agora está acabando de contar: . . ., –3, –2, –1, 0. Poderíamos perguntar, por que ele não acabou de contar ontem, anteontem ou no ano passado? Até então um tempo infinito já tinha transcorrido, por isso ele já devia ter terminado. Assim, em nenhum ponto do passado infinito, nunca poderíamos encontrar o homem acabando a sua contagem, porque naquele ponto ele já devia ter terminado! De fato, não importa o quanto mais voltamos ao passado, nunca poderemos achar nenhum homem contando, pois em qualquer ponto a que chegarmos, ele já terá terminado de contar. Mas se não o encontramos realmente em nenhum ponto do passado, isso contradiz a hipótese de que ele vem contando desde a eternidade. Isso mostra mais uma vez que a formação de um infinito real, que nunca começa, mas alcança um fim, é tão impossível quanto começar em um ponto e tentar atingir o infinito.

Portanto, em defesa da premissa (1), apresento tanto o argumento direto contra a possibilidade da formação de um infinito real, que nunca começa, mas alcança um fim, como argumentos de reductio indiretos de que, se a premissa (1) for negada, então vários absurdos sucederão.