#39 Obra atual a respeito de Deus e de objetos abstratos

Dr. Craig responde

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A

Uau! Estou impressionado com a sua familiaridade com as poucas coisas que já escrevi sobre esse tópico! Antes de responder à sua pergunta, permita-me deixar a par os leitores que não estão inteiramente familiarizados com esse debate tanto quanto você.

Um bom lugar para começar é nos perguntando: “O número 3 existe?”. Certamente, pode haver três maçãs, por exemplo, em cima da mesa; mas, além das maçãs, o próprio 3 existe? Não estamos perguntando se o numeral “3” existe (o símbolo que pegamos emprestado dos árabes para representar a quantidade três). Antes, perguntamos se o número 3 existe em si mesmo. Existem coisas chamadas números? Os números existem realmente?

Algumas pessoas podem achar essa pergunta tão fantasiosa a ponto de considerá-la totalmente irrelevante. Mas, na verdade, ela traz à tona uma questão teológica fundamental, cuja importância dificilmente seria exagerada. Afinal, se dissermos que os números existem, de onde vêm eles? A teologia cristã demanda de nós que afirmemos que tudo quanto existe à parte de Deus foi criado por Deus (Jo 1.3). Mas os números, se existirem, são quase sempre considerados seres necessários. Assim, ao que aparece, eles existem apesar de Deus. Essa é a visão denominada de platonismo, a partir do nome do filósofo grego Platão.

Talvez se tente evitar esse problema, adotando-se um platonismo modificado, segundo o qual os números foram criados de forma necessária e eterna por Deus. Mas daí surge o problema de circularidade viciosa: elucidativamente, antes que Deus criasse o número 3, o número de pessoas na Trindade não era 3? É claro. Então, o número 3 existia antes que Deus criasse o número 3, o que é impossível!

Lembro-me da sensação de pânico que senti no peito quando ouvi essa objeção ser levantada pela primeira vez, numa conferência de filosofia em Milwaukee. Pareceu-me a refutação do teísmo absolutamente decisiva. Eu não enxergava nenhuma saída.

A saída, conforme descobri, é negar a visão platônica de que existem objetos abstratos como os números. Minha primeira inclinação foi adotar algum tipo de conceptualismo que interpretasse os objetos como ideias na mente de Deus. Esse ainda parece ser o caminho que devo tomar, mas quanto mais estudava o problema tanto mais atraído ficava por várias perspectivas nominalistas ou antirrealistas dos objetos abstratos, as quais negavam categoricamente a existência deles em vez de reinterpretar a sua existência em termos de realidades conceptuais. Como você salienta, o conceptualismo parece ser uma espécie de realismo que identifica os números como pensamentos na mente de Deus. Tais pensamentos são objetos concretos, não abstratos, mesmo sendo imateriais. Esse tipo de identificação parece problemático de várias maneiras, o que não preciso discutir aqui. Se, por outro lado, o conceptualista não considerar os números como pensamentos reais pensados por Deus, então ele parece realmente abraçar alguma visão antirrealista como o ficcionalismo.

Assim, por que deveríamos pensar que objetos abstratos como os números não existem de modo nenhum? Quanto a isso, o único argumento a favor do platonismo é o chamado argumento da indispensabilidade, sugerido pelo falecido W. V. O. Quine, que se sentia obrigado a admitir a existência de objetos matemáticos, especificamente os conjuntos, na sua ontologia (descrição pessoal do que existe). Ele entendia que a verdade de nossas melhores teorias científicas nos comprometia com a realidade delas. O argumento de Quine baseava-se em diversas teses distintas:

O naturalismo assegura que não há fundamentos metafísicos nem extracientíficos para rejeitar-se a existência de objetos matemáticos. Aquilo que a ciência exige que seja real é real e ponto final. A tese da indispensabilidade está no âmago de qualquer versão do argumento. É fundamentalmente a alegação de que a quantificação de entidades matemáticas em nossas melhores teorias não pode ser interpretada livremente. Quine admite que declarações da linguagem comum, se consideradas sem maiores análises, envolveriam a quantificação de pseudo-objetos; daí a necessidade de uma formulação canônica das declarações de uma teoria científica, assegurando que seus comprometimentos ontológicos são irredutíveis. O critério do compromisso ontológico intuído por Quine não é por si só um critério de existência, mas nos diz aquilo que deve existir obrigatoriamente para que uma declaração canônica seja verdade. Admitindo-se o naturalismo, devemos estar em termos ontológicos comprometidos exclusivamente por declarações de nossas melhores teorias científicas que forem verdade, sejam quais forem. Finalmente, o holismo confirmativo garante que as declarações matemáticas indispensáveis de teorias científicas verdadeiras sejam elas mesmas verdadeiras. Afinal, qualquer evidência que venha confirmar a verdade da teoria como um todo vem confirmar toda declaração que ela abrange. Uma vez que as declarações matemáticas de uma teoria científica verdadeira são indispensáveis, estamos ontologicamente comprometidos por essas teorias aos objetos matemáticos quantificados. Por isso, a ciência moderna exige que creiamos na existência de objetos matemáticos.

Cada um dessas teses quineanas é altamente controvertida, e nenhuma delas, acho eu, muitos menos todas elas, é plausivelmente verdadeira. No que se segue, compartilharei de alguns resultados de minha leitura recente sobre esses tópicos. Peço desculpas antecipadas pela natureza extremamente técnica da discussão.

1. Embora a epistemologia naturalizada de Quine se tenha tornado de grande influência, o seu naturalismo, não estando ele mesmo entre as deliberações da ciência natural, é incapaz de ser justificado racionalmente. A única versão autorreferenciada coerente do naturalismo — como demonstrou Michael Rea (World without Design: The Ontological Consequences of Naturalism [Um mundo sem projeto: as consequências ontológicas do naturalismo], Oxford: Clarendon Press 2002, p. 50-73) — é a que considera o naturalismo como a disposição para aceitar apenas os vereditos das ciências naturais como verdadeiros. Algumas pessoas, porém, podem ter disposição diferente, estando prontas, por exemplo, para aceitar também a intuição racional ou a revelação divina como guias para a verdade. Ninguém tem a obrigação de adotar como sua a disposição pessoal de Quine. O não naturalista pode ter a ousadia de desafiar até mesmo as realizações de nossas melhores teorias científicas. Nesse caso, como filósofo cristão, acho que temos razões teológicas sólidas para rejeitar o platonismo, a despeito de quaisquer compromissos ontológicos que nossas teorias possam envolver. Além disso, o naturalismo de Quine, ironicamente, mutila a matemática, interpretada conforme o platonismo, pois o fragmento da matemática que a ciência natural exige é uma parte infinitesimal do universo do discurso matemático.

2. A tese da indispensabilidade tem sido alvo de críticas com base nos mais diversos fundamentos. As críticas de Charles Chihara foram especialmente devastadoras (Ontology and the Vicious Circle Principle [A ontologia e o princípio do círculo vicioso], Ithaca, N.Y.: Cornell University Press 1973, cap. 3). Chihara destaca que Quine não dá nenhuma pista do que seria uma proposição formulada canonicamente, nem de qual seria o procedimento para a obtenção de uma, e muito menos apresenta a garantia de que as declarações das teorias científicas podem sem formuladas canonicamente de maneira a eliminar todos os pseudo-objetos quantificados em linguagem comum. Sem tal procedimento, a proposta de Quine não pode nem mesmo decolar do chão. Além disso, ele apenas supõe que todas as nossas melhores teorias científicas podem ser formuladas adequadamente em lógica predicativa de primeira ordem, o que parece duvidoso demais. Lógica modal, lógica temporal e lógica contrafactual parecem ser necessárias para apreender adequadamente o conteúdo teórico da ciência natural. Uma vez que o critério do compromisso ontológico de Quine não funciona nesses contextos, o critério não conseguirá revelar acuradamente os compromissos ontológicos dessas teorias.

Finalmente, o construtivismo de Chihara recupera a matemática clássica sem a quantificação de entidades matemáticas. Esse feito é alcançado pela reformulação do conjunto ordinário de teorias Zermelo-Fraenkel, substituindo-se o quantificador existencial “∃” (que significa “existe…”) com o que Chihara denomina de quantificador de construtibilidade, de sorte que reivindicações de existência são substituídas por reivindicações sobre o que é construível. Deve-se entender a asserção do quantificador de construtibilidade Cx como: “É possível construir x tal que…”. O quantificador de construtibilidade é considerado primitivo, embora Chihara use a semântica de mundos possíveis como um mero dispositivo heurístico. Na teoria de Chihara, certos símbolos de proposições abertas — ou seja, sinais oracionais contendo variáveis livres — são construíveis e as declarações de filiação fixa são reescritas como enunciados sobre algum indivíduo que satisfaça uma proposição aberta. Chihara não alega que sua semântica representa o modo como os matemáticos entendem, de fato, o linguajar deles, nem que ela deveria substituir a linguagem matemática padrão, mas que mostra apenas como declarações matemáticas podem ser consideradas verdadeiras sem nenhum comprometimento ontológico com objetos abstratos.

De modo parecido, o Estruturalismo Modal de Geoffrey Hellman evita com êxito a quantificação de objetos matemáticos (Mathematics without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation [Matemática sem números: a caminho de uma interpretação modal-estrutural], Oxford: Oxford University Press, 1989). O estruturalismo vai buscar a sua inspiração na percepção de que as únicas propriedades matematicamente relevantes dos números são suas propriedades relacionais. As propriedades intrínsecas dos números naturais podem, por isso, ser ignoradas em favor da estrutura ordinal abstrata instanciada por eles. É matematicamente irrelevante os tipos de objetos que preencham as posições nessa estrutura ordinal. Portanto, não precisamos realmente de número algum. A fim de evitar o comprometimento ontológico com estruturas abstratas, Hellman afirma meramente a possibilidade lógica de tais estruturas. Assim, declarações matemáticas não envolvem a quantificação de objetos ou posições em uma estrutura ordinal real, uma vez que leva em consideração apenas a possibilidade de objetos inter-relacionados estruturalmente ou as posições.

3. O critério do compromisso ontológico de Quine é talvez a plataforma mais vulnerável de seu argumento. Em primeiro lugar, todos admitem que na linguagem comum o termo “existe/há” (simbolizado pelo quantificador existencial “∃”) não é ontologicamente comprometedor. Dizemos coisas como: “Existem diferenças profundas entre republicanos e democratas” ou “Há falta de integridade no comportamento dele” sem imaginarmos que assim nos obrigamos a incluir essas características como diferenças e carências em nossa ontologia! É quase impossível exagerar a importância dessa ideia. Racionalmente, não é possível considerar que a quantificação existencial na linguagem comum nos comprometa ontologicamente com os itens quantificados. Quine, obviamente, reconhece isso. Mas ele insiste que, já que as proposições de nossas melhores teorias científicas foram postas na forma canônica e simbolizadas na lógica predicativa de primeira ordem, então estamos comprometidos com qualquer item ligado pelo quantificador existencial. Já frisei que Quine não dá nenhuma dica sobre como fazer para transformar as proposições da linguagem comum na forma canônica, nem apresenta absolutamente nenhum argumento para justificar que, ao fazer isso, as livrará de quaisquer compromissos indesejáveis da linguagem comum. Além disso, ele também não apresenta nenhuma garantia de que nossas melhores teorias científicas podem ser simbolizadas com sucesso na notação da lógica predicativa de primeira ordem.

Todavia, ainda que fosse possível realizar com sucesso o procedimento de Quine, a dúvida sobre se estamos ou não comprometidos ontologicamente com os valores das variáveis atadas pelo quantificador existencial depende totalmente da nossa interpretação de “∃”. Por que imaginar que esse quantificador tem algum significado diferente ou carrega uma força ontológica maior do que o “existe” da linguagem comum?

Os filósofos têm tipicamente discriminado entre duas interpretações do quantificador existencial: a objetal (ou referencial) e a substituinte. A interpretação objetal do quantificador concebe-o como algo que abrange um domínio de objetos e seleciona alguns desses objetos como os valores das variáveis atadas por ele. A interpretação substituinte considera que a variável seja uma espécie de guarda-lugar para expressões linguísticas particulares que podem ser substituídas por ele para formar proposições. A interpretação substituinte é reconhecida geralmente como não comprometedora ontologicamente. Mas Jody Azzouni salienta que mesmo a interpretação objetal do quantificador não é comprometedora ontologicamente desde que assim seja estipulado (Deflating Existential Consequence: A Case for Nominalism [Deflacionando a consequência existencial: uma defesa do nominalismo], Oxford: Oxford University Press, 2004, p. 54). A alegação de que a interpretação objetal deve ser ontologicamente comprometedora ignora o fato de os quantificadores da metalinguagem usados para estabelecer o domínio dos quantificadores da linguagem do objeto são igualmente ambíguos. Se os itens no domínio D do quantificador da linguagem do objeto de fato existem é algo que dependerá da maneira como se interpreta o “existe” da metalinguagem que delimita D. Nem mesmo o uso referencial do quantificador na linguagem objeto precisa ser ontologicamente comprometedor se os quantificadores na metalinguagem não forem ontologicamente comprometedores. Se estivermos usando a linguagem comum ao dizermos que existe um elemento em D, então não estamos comprometidos com a realidade dos objetos que há em D, os quais quantificamos. (Se assim estivéssemos, o paradoxo resultaria em uma teoria que já nos compromete ontologicamente pelo próprio domínio aos objetos que há no quantificador, de sorte que o critério de Quine se torna completamente supérfluo.) Não há razão por que não seja possível se estabelecer como quantificação de um domínio um ambiente de objetos completamente imaginários. D, então, é não vazio, mas a quantificação objetal na linguagem do objeto do domínio não será ontologicamente comprometedora. O quantificador existencial serve simplesmente para facilitar as inferências lógicas.

Seja como for, por que razão o nominalista não pode adotar uma interpretação substituinte do quantificador existencial ao quantificar de objetos abstratos? Se enuncio que (∃x) Px, em que “P” representa o predicado “é um número primo”, então posso afirmar que “3” pode substituir x para produzir a proposição verdadeira “3 é um número primo”, sem com isso comprometer-me ontologicamente à realidade de 3. Se 3 existe ou não terá de ser decidido pelos argumentos extralógicos, e isso pode ser expresso por intermédio de um predicado de existência. É possível alegar que esse apelo seletivo a uma quantificação substituinte seja ad hoc. Mas, como explica Dale Gottlieb, tal uso pode ser justificado no caso especial de quantificação de objetos abstratos em vista das consequências ontológicas quase mágicas que se diz sucederem da interpretação objetal (Ontological Economy: Substitutional Quantification and Mathematics [Economia ontológica: quantificação substituinte e matemática], Oxford: Oxford University Press 1980, p. 53-54). Por exemplo, da proposição “Há três maçãs em cima da mesa” deduz-se de imediato que “O número de maçãs que estão em cima da mesa é 3”, o que, segundo o critério de Quine, nos compromete ontologicamente à existência de 3! Descobrir o que existe não deveria ser tão fácil assim! Considerar o quantificador de maneira substituinte impediria a derivação de ontologia mediante meras palavras. Assim, para que o argumento da indispensabilidade tenha êxito, seria necessário mostrar que o quantificador não pode ser considerado de modo substituinte, o que é, no juízo de Gottlied, “praticamente impossível estabelecer” (Ibid., p. 50).

Há ainda outra opção apresentada por Stephen Yablo, que abandonou o ficcionalismo, que aceita o critério de Quine, para o que ele denomina de figuralismo, a fim de poder preservar a verdade do discurso de objetos abstratos sem comprometimento ontológico (“Go Figure: A Path through Fictionalism” [Figure-se: um caminho através do ficcionalismo] em Peter A. French; Howard K. Wettstein (org.) Figurative Language, [Oxford: Blackwell, 2001], p. 72-102). Yabo está impressionado com as semelhanças entre o discurso do objeto abstrato e o discurso figurativo, tal como encontramos em eufemismo, hipérbole, metonímia e metáfora. Uma declaração como “Está chovendo canivetes!” é literalmente falsa, mas parar aí é perder de vista o sentido dessa linguagem. Quando o falante emprega a linguagem figurada, o conteúdo literal não é aquilo que o falante está proferindo. Há o que Yablo chama de “conteúdo real” para declarações figuradas, o qual bem pode ser verdadeiro. Isso não quer dizer que declarações figuradas sempre podem ser parafraseadas com sucesso nas expressões de seu conteúdo real. Os números podem ser indispensáveis como auxílios representativos para a expressão do conteúdo real da linguagem matemática. O conteúdo real de declarações matemáticas são verdades lógicas, razão por que a matemática parece necessária e a priori.

Yablo expande a sua análise para incluir também outros tipos de discursos de objetos abstratos. Por exemplo:

As entidades à direita não são aquilo do que tratam realmente as expressões à esquerda. Fingimos acreditar, talvez um tanto inconscientemente, que as entidades à direita existem, mas são meras figuras de linguagem e veículos do conteúdo real. A linguagem figurativa pode ser verdadeira — nisso reside a diferença entre figuralismo e ficcionalismo —, mas os recursos de representação que ela emprega não são ontologicamente comprometedores. À luz desses entendimentos alternativos do quantificador universal, o critério do compromisso ontológico de Quine parece não ser apenas não garantido, mas é também equivocado e implausível.

4. O holismo confirmativo radical de Quine é uma doutrina absolutamente implausível. Elliott Sober, crítico pertinaz dessa tese de Quine, concorda que hipóteses científicas nunca são testadas em isolamento, mas em conjunção com certas suposições auxiliares (“Quine’s Two Dogmas [Os dois dogmas de Quine]” Proceedings of the Aristotelian Society, Suppl. V. 74 [2000]: 237-280). Mas é típico os cientistas testarem uma hipótese contra outra hipótese concorrente que partilha do mesmo conjunto de suposições auxiliares. Um observador O favorece a hipótese H1 com relação à hipótese H2, dadas as suposições A, apenas no caso de Prob (O | H1 & A) > Prob (O | H2 & A). Nesse caso, as suposições A não foram testadas e, portanto, não são confirmadas por O. Matemática e lógica fazem parte do quadro de suposições comuns a todas as teorias e por isso não são confirmadas pela evidência empírica para as teorias. Sober acusa o holismo quieano de parecer culpado de pensar que, uma vez que O confirme H e H implique S, logo O confirma S — uma inferência falaciosa.

Outro sinal de que a matemática não é confirmada pela evidência, no caso de uma teoria científica, é o fato de jamais ser refutada pela evidência contrária a uma teoria. Todavia, a teoria da confirmação exige que, se O confirma H, logo não O contesta H. Uma consequência ainda mais bizarra do holismo radical de Quine é que, se eu acredito, digamos, na relatividade especial, logo qualquer confirmação da relatividade confirma tudo o que creio, não importa o quanto não esteja relacionado à teoria da relatividade. O resultado imediato é o relativismo, pois se acredito em X & Y e você acredita em X & não Y, logo a confirmação de X confirma Y para mim, mas confirma não Y para você!

O próprio Quine depois recuou esse holismo radical, abandonando-o em favor da posição de que conjuntos “grandões” de crenças estão sujeitos a confirmação, e não a todo um sistema de crenças de um indivíduo. Contudo, esse holismo mais moderado é ainda alvo da crítica de Sober e, em todo caso, é fraco demais para exercer totalmente o papel do holismo confirmativo no argumento da indispensabilidade a favor de objetos matemáticos. Sem a tese holística, as declarações puramente matemáticas de uma teoria confirmada não estão, portanto, confirmadas como verdadeiras.

Isso abre a porta para o ficcionalismo, o qual defende que, embora o conteúdo nominal de uma teoria científica possa estar certo, o conteúdo puramente matemático, caso seja considerado literalmente, é falso, sendo uma ficção útil. O ficcionalismo tem adotado dois caminhos para responder ao argumento da indispensabilidade. O caminho, tomado por Hartry Field (Science without Numbers [Ciência sem números] Princeton: Princeton University Press, 1980), desafia a tese da indispensabilidade, segundo a qual a matemática é indispensável para a ciência e para fornecer uma versão nominalizada de uma teoria científica em que não se faz nenhuma referência a objetos matemáticos. O segundo caminho, adotado por Mark Balaguer (Platonism and Anti-Platonism in Mathematics [Platonismo e antiplatonismo na matemática], Nova Iorque: Oxford University Press, 1998), aceita a tese da indispensabilidade, mas sustenta que, conquanto a matemática possa ser indispensável para a prática científica, em nada seu conteúdo coopera para o conhecimento do mundo e que o platonismo não é a melhor explicação para a sua aplicabilidade. Ambos os caminhos concordam que o conteúdo platônico da ciência empírica é fictício e, portanto, falso.

Proposições como “2 + 2 = 4” assemelham-se a declarações concernentes a personagens fictícios como “Papai Noel mora no Polo Norte”. Essas orações não conseguem corresponder à realidade, pois têm em si termos desprovidos de conteúdo. Já que não correspondem à realidade, são literalmente falsas. Como a pessoa de Papai Noel não existe, ele não pode viver literalmente no Polo Norte. Pelo fato de não existirem coisas como dois e quatro, não é literalmente verdadeiro que quatro é a soma de dois números dois. O que é verdadeiro afirmar, porém, é que Papai Noel vive no Polo Norte de acordo com a conhecida história de Papai Noel. De acordo com essa história, ele não fez a sua casa no leste de Peoria. Semelhantemente, é verdadeiro afirmar que 2 + 2 = 4 conforme a descrição padrão da Matemática. Isso salva o ficcionalista do embaraço de declarar descaradamente que “2 + 2 = 4” é falso, pois ele concorda que essa declaração é verdadeira no modelo padrão da aritmética. Todavia, nega que tal modelo corresponda a qualquer realidade independente. É um erro imaginar que a prática matemática nos obriga à verdade literal das teorias matemáticas, pois a questão ontológica concernente à realidade de objetos matemáticos é uma questão filosófica da qual a própria matemática não trata. No máximo, a nossa prática nos obriga a sustentar que certas declarações são verdadeiras de acordo com a descrição padrão da área relevante.

Kendall Walton, cuja fascinante obra sobre a natureza da ficção encontra aplicação fora dos campos literários e artísticos, faz referência a “verdades ficcionais”, que são declarações tidas como verdadeiras em um jogo de faz de conta (Mimesis as Make–Believe [A mimese como faz de conta] Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1990). As verdades ficcionais são geradas pela prescrição ou ordem para que se imagine que algo seja verdadeiro. Os acordos feitos entre os participantes do jogo sobre o que deve ser imaginado servem de regras para prescrever certas fantasias. Essas regras são os princípios geradores de um mundo fictício no qual certas proposições devem ser imaginadas como verdadeiras. Walton frisa que esse modo de entender as regras do jogo pode realmente não ser consciente nem explícito. “Pode estar tão entranhado que dificilmente o notamos, pode ser tão natural que é difícil imaginar que não o temos” (Ibid., p. 41). Assim, é possível envolver-se com o faz de conta sem ter a mínima consciência dele.

É difícil imaginar uma aplicação não literária mais apropriada e plausível da teoria de Walton do que a teoria axiomatizada dos conjuntos infinitos. Logo se descobriu que o conceito intuitivo de conjunto empregado por Cantor gera os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos infinitos e, portanto, é insustentável. Em vez de adotarem um novo entendimento de “conjunto”, seus teóricos preferiram simplesmente evitar os paradoxos deixando a noção de conjunto indefinida, mas esquematizando diversos axiomas governantes do comportamento dos conjuntos para impedirem o surgimento de paradoxos. Esses axiomas pouco têm a ver com a verdade intuitiva, já que não sabemos sequer do que eles tratam. Os axiomas da teoria dos conjuntos parecem, antes, terem sido prescritos para que os consideremos verdadeiros. Tais axiomas servem como princípios geradores para o universo dos conjuntos. Nesse jogo de faz de conta, teoremas surpreendentes e incríveis tornam-se ficcionalmente verdadeiros. É, por exemplo, ficcionalmente verdadeiro que o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números pares têm o mesmo número de membros, mesmo que o conjunto dos números naturais inclua todos os números pares mais a quantidade igual e infinita de números ímpares também. Além disso, como os mundos da ficção, o universo descrito na teoria dos conjuntos infinitos é radicalmente incompleto. Da mesma maneira que não é ficcionalmente verdadeiro nem ficcionalmente falso, por exemplo, Hamlet usar sapatos de número 42, assim também a Hipótese do Contínuo (HC) — a hipótese de que a potência do contínuo é ℵ1, o próximo número cardinal transfinito mais alto depois de ℵ0 — não é ficcionalmente verdadeira nem ficcionalmente falsa, uma vez que se tem demonstrado que é independente dos axiomas da teoria padrão dos conjuntos. A alegação realista de que a HC tem de ser verdadeira ou falsa soa estranhamente como a insistência de que Hamlet tem de usar algum número de sapato, seja 42 ou não. O teórico da teoria dos conjuntos tem, se quiser, a liberdade de acrescentar HC ou ¬HC a seus axiomas, para, por assim dizer, publicar uma edição revisada da história em que todo um novo conjunto de verdades ficcionais será gerado. Fazendo-se isso, como destaca Walton, pode-se estar ou não consciente de se estar tomando parte em um jogo de faz de conta.

O holismo confirmativo de Quine é, portanto, implausível, e a rejeição dele abre a porta para a leitura ficcionalista das declarações da matemática pura, empregada na ciência.

Resumindo, a abundância de nominalistas que invalidam o argumento da indispensabilidade deixa a tese da condição ontológica de objetos abstratos, como os números, no mínimo como uma questão em aberto e vários nominalismos (para não falar de conceptualismos) como alternativas viáveis para o platonismo. Por isso, tenho a grata satisfação de informar que, dessa área, não surge nenhuma objeção bem-sucedida ao teísmo clássico.